La propiedad conmutativa, al estilo Montessori {3ra parte}

La propiedad conmutativa a la Montessori, la tercera parte en la serie de cómo eliminar la pelea sobre aprender las tablas de multiplicar.

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Vamos hablando de la mejor manera de enseñar las tablas a los niños de primaria. En la primera parte, compartí los tres descubrimientos que hice que me permitieron eliminar la pelea sobre las tablas. En la segunda parte, identificamos las únicas 28 ecuaciones que se tienen que memorizar. Hoy vamos a ver cómo enseñar la propiedad conmutativa para que los niños verdaderamente entienden por qué funciona; es imprescindible para poder memorizar las tablas con tan solo 28 ecuaciones, además de su importancia para mates más avanzadas.

 

La manera tradicional de enseñar la propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa se suele enseñar así: la maestra va a la pizarra, escribe “propiedad conmutativa”, y dice: «Miren, niños. Con la multiplicación, no importa en cual orden multiplicas los factores, el producto será siempre igual. 5 x 4 = 4 x 5. 6 x 3 = 3 x 6. ¿Todos entendemos? He aquí una ficha para comprobarlo.» Y reparte copias de una ficha que está llena de parejas de ecuaciones para que los niños muestren su “entendimiento”.

Muchos aprendimos la propiedad conmutativa así, y por lo general, funciona. Pero no engendra entendimiento de por qué funciona. Solo memorizamos la definición de la propiedad, y la podemos usar cuando se nos presenta una ficha con parejas de ecuaciones, pero muchos tienen problemas en ponerla en práctica en contexto, y usarlo cuando llegan a la álgebra.

Por suerte, hay una forma mejor de enseñar esta propiedad. Y es una manera que permite a los niños DESCUBRIRLA, en vez de solo memorizar algo que se les presentó como hecho.

Cuándo introducir la propiedad conmutativa

Es importante que los niños entiendan el concepto de la multiplicación antes de que se les presenta esta propiedad. Para un niño en un programa Montessori, ya habrá experimentado la multiplicación larga con las perlas doradas, ya tendrá las tablas memorizadas, estará empezando la multiplicación larga en el ábaco grande, y se la presenta a los seis años. Pero para un niño en un programa tradicional, se la presenta después de empezar a aprender la multiplicación sencilla, y empezar a memorizar las tablas. Probablemente va a estar en tercer grado, de ocho años de edad.

Los materiales necesarios

Para esta lección (o presentación, como se denomina en Montessori), se necesitan las perlas Montessori, en específico, lo que se llama el decanomio. Es una caja con 55 varitas (o bastones) de perlas para cada número 1-10. Cada número tiene su color: rojo para el uno, verde para dos, rosado para tres, amarillo para cuatro, azul claro para cinco, morado para seis, blanco para siete, marrón para orcho, azul oscuro para nueve, y dorado para diez. Estas perlas se usan para un montón de conceptos, así que vale la pena comprarlas. Para esta presentación, también se podría hacer varitas con perlas “Pony” y limpiapipas, y bastarían 10 de cada número. Yo fabriqué las varitas yo misma con perlas de 6mm, alambra, un cortaalambres y unas tenazas; es más barato, pero esta opción sí que cuesta tiempo y trabajo.

Bead Bar Decanomial

 

Nuestra caja de varitas de perlas Montessori

Nuestra versión casera de las perlas

Si quieres comprar el decanomio, recomiendo comprarlo de Kid Advance (EE.UU.), IFIT (Canadá y EE.UU.), Jaisa (España), o Montessori Educativos (México). (No tengo ninguna afliación con estas compañías; he usado las primeras dos y los materiales son de buena calidad para el precio.) Y si alguien tiene una recomendación de compañias de América del Sur, se lo agradezco, porque no sé dónde comprar los materiales allá.

También se necesitan: unas tarjetas pequeñas y blancas (alrededor de 5cm por 5cm, no hay que ser preciso) con los números 0 – 9, un número en cada tarjeta; tarjetas pequeñas con el símbolo de multiplicación; papel de cuadrículas; y lápices de color según las perlas Montessori. Las tarjetas de números y las del símbolo de multiplicación se guardan en un sobre, a menos que tienes espacio en tu caja del decanomio como nosotros tenemos.

La presentación

Voy a mostrarles toda la presentación en detalle, con fotos. Al final, voy a compartir un PDF con la presentación que puedes imprimir fácilmente. (¡Puedes saltar hasta el PDF ya si quieres!)

Pones el decanomio y el sobre con las tarjetas sobre la mesa. Invitas a uno hasta cinco niños a la mesa para la presentación (perfecto para hacer durante una lección de matemática guiada, por ejemplo, en la escuela tradicional). Sacas una varita de cuatro y la tarjeta de siete antes de empezar. Luego sigues este guión para presentar la lección. Hay un guión para cada presentación Montessori para ayudarnos a darles solo la información necesaria a los niños. No importa si cambias unas palabras, solo hay que cuidar de no añadir más información para que los niños puedan concentrarse en un concepto a la vez, y descubrir conceptos ellos solitos. Su aprendizaje será más poderoso y llegará al fondo del concepto si les permitimos descubrirlo en vez de decirles la regla. ¡Hay que resistir la tentación de contarles el secreto!

Guía (Docente): Supongamos que tenemos esto (levantar una varita de 4) y queremos tomarlo esta cantidad de veces (poner la tarjeta de 7). (Poner la tarjeta con símbolo de multiplicar entre la perla y la tarjeta de 7 para formar la ecuación.)

Perla de 4 x tarjeta de 7

Guía (Docente): Este símbolo significa que vamos a tomar esta perla de cuatro siete veces. Hagámoslo. (Colocar 7 varitas de cuatro horizontalmente debajo de la ecuacion.) ¿Qué tenemos?

Perla de 4 x tarjeta de 7

Guía (Docente): Aquí tenemos 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Hagámoslo con la menor cantidad de varitas posible. (Recoger dos varitas de diez y una de ocho, y ponerlas juntas, verticalmente, debajo de las varitas de cuatro horizontales.)

Dos varitas de diez y una de ocho

Guía (Docente): Vemos claramente que cuatro tomado siete veces son 28. Ahora, escribámoslo. (Escribir la ecuación en papel o en una pizarra.)

FOTO DE 4 X 7 = 28 ESCRITO

Guía (Docente): Ahora, probemos una más. (Sacar una varita de siete y la tarjeta de cuatro.) Digamos que tenemos esto (Levantar la varita de 7.) y la vamos a tomar esta cantidad de veces. (Levantar la tarjeta de cuatro.) Hagámos la expresión. (Poner la varita verticalmente, luego la tarjeta del signo de multiplicar, después la tarjeta blanca de cuatro.)

varita de 7 x tarjeta de 4

Guía (Docente): ¿Cuánto son? (Sacar cuatro varitas de siete y poner horizontalmente debajo de la ecuación.)

Cuatro varitas de siete

Guía (Docente): Son 7, 14, 21, 28. Hagámoslo con la menor cantidad de varitas posible otra vez. (Recoger dos varitas de diez y una de ocho, y ponerlas juntas verticalmente debajo de las varitas de siete horizontales.)

Two ten bars and an eight bar

Guía (Docente): Así vemos claramente que siete tomado cuatro veces son 28. Escribámos esta ecuación también. (Escribir la ecuación en papel o en una pizarra.)

Ecuación escrita 7 x 4 = 28

Guía (Docente): Ahora, hagamos algunos más.

Dos ecuaciones 4 x 7 y 7 x 4

Desde aquí, repites el proceso, permitiendo que los niños escoja los multiplicandos y los multiplicadores. Sigue haciendo parejas de ecuaciones. Si escogen un multiplicando de 3 y un multiplicador de 9, luego repítelo con multiplicando de 9 y multiplicador de 3. QUEREMOS QUE ELLOS DESCUBRAN QUE EL PRODUCTO SERÁ IGUAL. ¡NO SE LO DIGAS!

Es posible que se cansan después del primer ejemplo en la presentación. En ese caso, te detienes y dejas este próximo paso de hacer más ejemplos para el próximo día.

Cuando han hecho varios pares de ecuaciones con los materiales, puedes introducir la siguiente manera de representar las expresiones en papel de cuadrículas en vez de usar las varitas y las tarjetas de números.

Eso se puede introducir en una corta presentación así:

Guía (Docente): En vez de sacar las varitas, también podemos hacer este ejercicio en papel de cuadrículas. Solo necesitamos el papel y lápices de colores. (Señalar el papel de cuadrículas y los lápices de colores.)

Papel de cuadrículas y lápices de color

Guía (Docente): Si quiero tomar tres seis veces, puedo dibujar las seis varitas de tres así. (Dibujar las varitas, usando el lápiz rosado, como ese es el color de las perlas en las varitas de tres.)

Seis varitas de tres dibujados en papel de cuadrículas

Guía (Docente): Puedo escribir la ecuación debajo del dibujo. Luego encuentro el producto: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Y escribo el producto también. (Escribir la ecuación debajo del dibujo.)

Ecuación 3 x 6 = 18 en papel de cuadrículas

Guía (Docente): Hago lo mismo a la derecha, intercambiando el multiplicando y el multiplicador. Ahora voy a tomar seis tres veces. Así lo dibujo. (Dibujar tres varitas de seis, usando el lápiz morado, según los colores de las varitas.)

Tres varitas de seis dibujados en papel de cuadrículas

Guía (Docente): Y veo que tengo 6, 12, 18. Otra vez escribo la ecuación debajo del dibujo. (Escribir la ecuación debajo.)

Ecuación 6 x 3 = 18 escrito

Guía (Docente): Ahora ustedes pueden hacer unas parejas de ecuaciones más solitos.

Y este es el trabajo subsiguiente de este presentación: los niños siguen explorando solitos, inventando sus propias combinaciones y utilizando o el material de varitas o el papel de cuadrículas para demostrar la respuesta. Después de suficiente experience, van a descubrir que el producto es siempre lo mismo en la pareja, que se puede intercambiar el multiplicando y el multiplicador sin afectar el producto. Cuando empiezan a expresar este descubrimiento, queremos darles la nomenclatura para describir lo que han encontrado.

Guía (Docente): Veo que han descubierto que cuando multiplicas dos números, no importa cuál sea el multiplicando, y cual el multiplicador. Si tomas tres cinco veces, o si tomas cinco tres veces, terminas con el mismo producto: quince. Como han mostrado con todo su trabajo, esto es siempre verdad. Y a esto se le llama la propiedad conmutativa de la múltiplicación. Que tal si escribimos esto en sus cuadernos, para que no se olviden cómo se llama, con una descripción de la propiedad y uno o dos ejemplos. (Escribirlo en tu cuaderno como un ejemplo, y animarles a escribirlo ellos también. Ellos pueden, y deben, escribir la definición en sus propias palabras y usar sus propios ejemplos basados en su experiencias, en vez de solo copiar lo que escribes tú.)

Descripción de propiedad conmutativa en cuaderno

Y eso es todo! Cuando sigues este proceso, guías el desarrollo del descubrimiento del alumno. Y como es su descubrimiento, se acuerdan de ello. No tendrás que enseñarlo una y otra vez. Lo entiendan a fondo, y van a poder ponerlo en práctica con mates más avanzadas. Este es el resultado que queremos.

Sigue leyendo: Cómo eliminé la pelea sobre memorizar las tablas {1era parte}

28 ecuaciones. Tablas memorizadas. {2da parte}

Ahora, para que no tengan que intentar imprimir todo esto, o mirarlo mientras intentar dar la presentación, les comparto una copia PDF de la presentación que será fácil imprimir. ¡Haz clic en la foto para bajar tu propia copia!

Y si tienes alguna pregunta, no dudes en ponerte en contacto conmigo, ¡siempre estoy dispuesta a ayudar!

 

Commutative Property Presentation in Downloadable Printable PDF Form

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